- 아날로그 또는 디지털 필터
- 능동 또는 수동 필터
- 오디오 또는 무선 주파수 기반 필터
- 주파수 선택에 따른 필터
- 1 차 저역 통과 버터 워스 필터
- 2 차 버터 워스 저역 통과 필터
- 2 차 저역 통과 버터 워스 필터 유도 -Aliter
전기 필터는 많은 응용 분야를 가지고 있으며 많은 신호 처리 회로에서 광범위하게 사용됩니다. 주어진 입력의 전체 스펙트럼에서 선택한 주파수의 신호를 선택하거나 제거하는 데 사용됩니다. 따라서 필터는 선택한 주파수의 신호가 통과하거나 통과하는 선택한 주파수의 신호를 제거하는 데 사용됩니다.
현재 사용 가능한 여러 유형의 필터 가 있으며 여러면에서 차별화됩니다. 그리고 이전 튜토리얼에서 많은 필터를 다루었지만 가장 인기있는 차별화는
- 아날로그 또는 디지털
- 능동 또는 수동
- 오디오 또는 무선 주파수
- 주파수 선택
아날로그 또는 디지털 필터
환경에서 생성 된 신호는 본질적으로 아날로그이고 디지털 회로에서 처리되는 신호는 본질적으로 디지털이라는 것을 알고 있습니다. 원하는 결과를 얻으려면 아날로그 및 디지털 신호에 해당하는 필터를 사용해야합니다. 따라서 우리는 아날로그 신호를 처리하는 동안 아날로그 필터를 사용하고 디지털 신호를 처리하는 동안 디지털 필터를 사용해야합니다.
능동 또는 수동 필터
필터는 또한 필터를 설계하는 동안 사용 된 구성 요소에 따라 구분됩니다. 필터의 설계가 완전히 수동 구성 요소 (예: 저항, 커패시터 및 인덕터)를 기반으로하는 경우 필터를 수동 필터라고합니다. 반면에 회로를 설계 할 때 능동 부품 (op-amp, 전압 소스, 전류 소스)을 사용하면 필터를 능동 필터라고합니다.
많은 장점을 가지고 있기 때문에 능동 필터가 수동 필터보다 선호 되지만 더 널리 사용 됩니다. 이러한 장점 중 몇 가지는 다음과 같습니다.
- 부하 문제 없음: 우리는 능동 회로에서 매우 높은 입력 임피던스와 낮은 출력 임피던스를 가진 연산 증폭기를 사용한다는 것을 알고 있습니다. 이 경우 능동 필터를 회로에 연결할 때 연산 증폭기에서 끌어온 전류는 입력 임피던스가 매우 높기 때문에 필터가 연결될 때 회로에 부담을주지 않기 때문에 매우 무시할 수 있습니다.
- 이득 조정 유연성: 수동 필터에서는 이러한 작업을 수행 할 특정 구성 요소가 없기 때문에 이득 또는 신호 증폭이 불가능합니다. 반면에 액티브 필터에는 입력 신호에 높은 이득 또는 신호 증폭을 제공 할 수있는 연산 증폭기가 있습니다.
- 주파수 조정 유연성: 능동 필터는 수동 필터에 비해 차단 주파수를 조정할 때 유연성이 더 높습니다.
오디오 또는 무선 주파수 기반 필터
필터 설계에 사용되는 구성 요소는 필터 적용 또는 설정이 사용되는 위치에 따라 달라집니다. 예를 들어 RC 필터는 오디오 또는 저주파 애플리케이션에 사용되는 반면 LC 필터는 라디오 또는 고주파 애플리케이션에 사용됩니다.
주파수 선택에 따른 필터
필터는 또한 필터를 통과 한 신호에 따라 분할됩니다.
저역 통과 필터:
선택한 주파수 이상의 모든 신호가 감쇠됩니다. 액티브 로우 패스 필터와 패시브 로우 패스 필터의 두 가지 유형이 있습니다. 저역 통과 필터의 주파수 응답은 다음과 같습니다. 여기서 점선 그래프는 이상적인 저역 통과 필터 그래프이고 깨끗한 그래프는 실제 회로의 실제 응답입니다. 이것은 선형 네트워크가 불연속 신호를 생성 할 수 없기 때문에 발생했습니다. 그림에서 볼 수 있듯이 신호가 차단 주파수 fH에 도달하면 감쇠가 발생하고 특정 고주파가 지나면 입력에 제공된 신호가 완전히 차단됩니다.
하이 패스 필터:
선택한 주파수 이상의 모든 신호가 출력에 나타나고 해당 주파수 미만의 신호는 차단됩니다. 액티브 하이 패스 필터와 패시브 하이 패스 필터의 두 가지 유형이 있습니다. 하이 패스 필터의 주파수 응답은 다음과 같습니다. 여기서 점선 그래프는 이상적인 고역 통과 필터 그래프이고 깨끗한 그래프는 실제 회로의 실제 응답입니다. 이것은 선형 네트워크가 불연속 신호를 생성 할 수 없기 때문에 발생했습니다. 그림에서 볼 수 있듯이 신호가 차단 주파수 fL보다 높은 주파수를 가질 때까지 신호가 감쇠됩니다.
대역 통과 필터:
이 필터에서는 선택한 주파수 범위의 신호 만 출력에 표시되고 다른 주파수의 신호는 차단됩니다. 대역 통과 필터의 주파수 응답은 다음과 같습니다. 여기서 점선 그래프는 이상적인 대역 통과 필터 그래프이고 깨끗한 그래프는 실제 회로의 실제 응답입니다. 그림에서 볼 수 있듯이 fL에서 fH까지의 주파수 범위의 신호는 필터를 통과하는 반면 다른 주파수의 신호는 감쇠를 경험합니다. 여기에서 대역 통과 필터에 대해 자세히 알아보십시오.
밴드 거부 필터:
대역 제거 필터 기능은 대역 통과 필터와 정반대입니다. 입력에서 제공되는 선택한 대역 범위의 주파수 값을 갖는 모든 주파수 신호는 필터에 의해 차단되고 다른 주파수의 신호는 출력에 나타날 수 있습니다.
모든 패스 필터:
모든 주파수의 신호는 위상 편이를 경험하지 않는 한이 필터를 통과 할 수 있습니다.
응용 프로그램 및 비용에 따라 설계자는 다양한 유형에서 적절한 필터를 선택할 수 있습니다.
그러나 여기서 출력 그래프에서 원하는 결과와 실제 결과가 정확히 동일하지 않음을 알 수 있습니다. 이 오류는 많은 응용 프로그램에서 허용되지만 때로는 출력 그래프가 이상적인 필터를 향한 경향이있는보다 정확한 필터가 필요합니다. 이러한 거의 이상적인 응답은 특수 설계 기술, 정밀 부품 및 고속 연산 증폭기를 사용하여 얻을 수 있습니다.
Butterworth, Caur 및 Chebyshev 는 거의 이상적인 응답 곡선을 제공 할 수있는 가장 일반적으로 사용되는 필터 중 일부입니다. 여기에서는 세 가지 중 가장 인기있는 Butterworth 필터에 대해 설명합니다.
Butterworth 필터 의 주요 기능은 다음과 같습니다.
- RC (Resistor, Capacitor) 및 Op-amp (operational amplifier) 기반 필터입니다.
- 필요한 경우 이득을 조정할 수 있도록 활성 필터입니다.
- Butterworth의 주요 특징은 평평한 통과 대역과 평평한 정지 대역이 있다는 것입니다. 이것이 일반적으로 '플랫 플랫 필터'라고 불리는 이유입니다.
이제 더 나은 이해를 위해 저역 통과 버터 워스 필터 의 회로 모델에 대해 논의하겠습니다.
1 차 저역 통과 버터 워스 필터
그림은 1 차 저역 통과 버터 가치 필터의 회로 모델을 보여줍니다.
회로에는 다음이 있습니다.
- 전압 'Vin'은 본질적으로 아날로그 인 입력 전압 신호입니다.
- 전압 'Vo'는 연산 증폭기의 출력 전압입니다.
- 저항기 'RF'및 'R1'은 연산 증폭기의 네거티브 피드백 저항입니다.
- 회로에는 단일 RC 네트워크 (빨간색 사각형으로 표시됨)가 있으므로 필터는 1 차 저역 통과 필터입니다.
- 'RL'은 연산 증폭기 출력에 연결된 부하 저항입니다.
'V1'지점에서 전압 분배기 규칙을 사용하면 커패시터 양단의 전압을 다음과 같이 얻을 수 있습니다.
V 1 = V 에서 여기 -jXc = 1 / 2ᴫfc
이 방정식을 대입하면 다음과 같이됩니다.
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
이제 네거티브 피드백 구성에 사용되는 연산 증폭기와 이러한 경우 출력 전압 방정식은 다음과 같이 주어집니다.
V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
이것은 표준 공식이며 자세한 내용은 연산 증폭기 회로를 살펴볼 수 있습니다.
V1 방정식을 Vo에 제출하면
V0 = (1 + R F / R 1)
이 방정식을 다시 작성하면
V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
이 방정식에서
- V 0 / V in = 주파수 함수로서 필터의 이득
- AF = (1 + R F / R 1) = 필터의 통과 대역 이득
- f = 입력 신호의 주파수
- f L = 1 / 2ᴫRC = 필터의 차단 주파수. 이 방정식을 사용하여 적절한 저항 및 커패시터 값을 선택하여 회로의 차단 주파수를 선택할 수 있습니다.
위의 방정식을 극좌표로 변환하면
이 방정식을 사용하여 입력 신호의 주파수 변화에 따른 이득 크기의 변화를 관찰 할 수 있습니다.
사례 1: f <
따라서 입력 주파수가 필터 차단 주파수보다 매우 작 으면 이득 크기는 연산 증폭기의 루프 이득과 거의 같습니다.
Case2: F = F L. 입력 주파수가 필터의 차단 주파수와 같으면
따라서 입력 주파수가 필터 차단 주파수와 같을 때 이득 크기는 연산 증폭기의 루프 이득의 0.707 배 입니다.
Case3: F> F L. 입력 주파수가 필터의 차단 주파수보다 높으면
패턴에서 알 수 있듯이 입력 신호 주파수가 차단 주파수보다 적을 때까지 필터의 게인은 연산 증폭기 게인과 동일합니다. 그러나 입력 신호 주파수가 컷오프 주파수에 도달하면 이득은 사례 2에서 볼 수 있듯이 약간 감소합니다. 그리고 입력 신호 주파수가 더욱 증가함에 따라 이득은 0에 도달 할 때까지 점차 감소합니다. 따라서 저역 통과 버터 워스 필터는 입력 신호의 주파수가 차단 주파수보다 낮아질 때까지 입력 신호가 출력에 나타나도록합니다.
위의 회로에 대한 주파수 응답 그래프 를 그렸다면,
그래프에서 볼 수 있듯이 입력 신호의 주파수가 컷오프 주파수 값을 통과 할 때까지 게인은 선형이되고 일단 발생하면 게인이 상당히 감소하고 출력 전압 값도 감소합니다.
2 차 버터 워스 저역 통과 필터
그림은 2 차 버터 워스 저역 통과 필터의 회로 모델을 보여줍니다.
회로에는 다음이 있습니다.
- 전압 'Vin'은 본질적으로 아날로그 인 입력 전압 신호입니다.
- 전압 'Vo'는 연산 증폭기의 출력 전압입니다.
- 저항기 'RF'및 'R1'은 연산 증폭기의 네거티브 피드백 저항입니다.
- 회로에 이중 RC 네트워크 (빨간색 사각형으로 표시됨)가 있으므로 필터는 2 차 저역 통과 필터입니다.
- 'RL'은 연산 증폭기 출력에 연결된 부하 저항입니다.
2 차 저역 통과 버터 워스 필터 유도
2 차 필터는 고차 필터를 사용하여 설계되기 때문에 중요합니다. 2 차 필터의 이득은 R1 및 RF에 의해 설정되고 차단 주파수 f H 는 R 2, R 3, C 2 및 C 3 값에 의해 결정됩니다. 차단 주파수에 대한 유도는 다음과 같습니다.
f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
이 회로의 전압 이득 방정식은 이전과 유사한 방식으로 찾을 수 있으며이 방정식은 아래에 나와 있습니다.
이 방정식에서
- V 0 / V in = 주파수 함수로서 필터의 이득
- A F = (1 + R F / R 1) 필터의 통과 대역 이득
- f = 입력 신호의 주파수
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = 필터의 차단 주파수. 이 방정식을 사용하여 적절한 저항 및 커패시터 값을 선택하여 회로의 차단 주파수를 선택할 수 있습니다. 또한 RC 네트워크에서 동일한 저항과 커패시터를 선택하면 방정식은 다음과 같습니다.
전압 이득 방정식을 사용하여 입력 신호의 주파수 변화에 따른 이득 크기의 변화를 관찰 할 수 있습니다.
사례 1: f <
따라서 입력 주파수가 필터 차단 주파수보다 매우 작 으면 이득 크기는 연산 증폭기의 루프 이득과 거의 같습니다.
Case2: F는 F = H. 입력 주파수가 필터의 차단 주파수와 같으면
따라서 입력 주파수가 필터 차단 주파수와 같을 때 이득 크기는 연산 증폭기의 루프 이득의 0.707 배 입니다.
Case3: F> F H. 입력 주파수가 필터의 차단 주파수보다 실제로 높으면
1 차 필터와 유사하게 필터의 이득은 입력 신호 주파수가 차단 주파수보다 적을 때까지 연산 증폭기 이득과 동일합니다. 그러나 입력 신호 주파수가 컷오프 주파수에 도달하면 이득은 사례 2에서 볼 수 있듯이 약간 감소합니다. 그리고 입력 신호 주파수가 더욱 증가함에 따라 이득은 0에 도달 할 때까지 점차 감소합니다. 따라서 저역 통과 버터 워스 필터를 사용하면 입력 신호의 주파수가 차단 주파수보다 낮아질 때까지 입력 신호가 출력에 표시됩니다.
위의 회로에 대한 주파수 응답 그래프 를 그리면
이제 1 차 필터와 2 차 필터의 차이점이 무엇인지 궁금 할 것입니다. 답은 그래프에 있습니다.주의 깊게 관찰하면 입력 신호 주파수가 컷오프 주파수를 통과 한 후 그래프가 급격히 감소하고 이번 하락은 1 차에 비해 2 차에서 더 분명해집니다. 이 가파른 경사로 인해 2 차 버터 워스 필터 는 1 차 버터 워스 필터 와 비교할 때 이상적인 필터 그래프쪽으로 더 기울어집니다.
이것은 3 차 버터 워스 로우 패스 필터, 포스 오더 버터 워스 로우 패스 필터 등에 대해 동일합니다. 필터의 차수가 높을수록 이득 그래프가 이상적인 필터 그래프로 기울어집니다. 고차 버터 워스 필터에 대한 이득 그래프를 그리면 다음과 같은 결과를 얻게됩니다.
그래프에서 녹색 곡선은 이상적인 필터 곡선을 나타내며 Butterworth 필터의 순서가 증가함에 따라 이득 그래프가 이상 곡선쪽으로 기울어지는 것을 볼 수 있습니다. 따라서 Butterworth 필터의 차수가 높을수록 이득 곡선이 더 이상적입니다. 따라서 차수가 증가함에 따라 필터 의 정확도가 감소 하기 때문에 고차 필터를 쉽게 선택할 수 없습니다. 따라서 필요한 정확도를 주시하면서 필터 순서를 선택하는 것이 가장 좋습니다.
2 차 저역 통과 버터 워스 필터 유도 -Aliter
기사가 게시 된 후 은퇴 한 전기 엔지니어 인 Keith Vogel로부터 메일을 받았습니다. 그는 2 차 저역 통과 필터 에 대한 설명에서 널리 알려진 오류를 발견하고 이를 수정하기 위해 다음과 같은 설명을 제공했습니다.
그래서 나도 그것을 옳게하자.:
그런 다음 -6db 차단 주파수가 방정식으로 설명됩니다.
f c = 1 / (
그러나 이것은 사실이 아닙니다! 나를 믿게합시다. R1 = R2 = 160, C1 = C2 = 100nF (0.1uF) 인 회로를 만들어 봅시다. 방정식이 주어지면 다음과 같은 -6db 주파수를 가져야합니다.
f c = 1 / (
계속해서 회로를 시뮬레이션하고 -6db 지점이 어디에 있는지 살펴 보겠습니다.
아, 9.947kHz가 아닌 6.33kHz로 시뮬레이션합니다. 그러나 시뮬레이션은 잘못되지 않았습니다!
참고로 -6db 대신 -6.0206db를 사용했습니다. -6db보다 조금 더 가깝습니다. 정말 방정식에 의해 설명 된 주파수를 달성하기 원한다면, 나는 1 사이의 버퍼해야합니다 일, 2 차 필터의 단계. 방정식에 대한 더 정확한 회로는 다음과 같습니다.
여기에서 -6.0206db 포인트가 9.945kHz로 시뮬레이션되어 계산 된 9.947kHZ에 훨씬 더 가깝습니다. 바라건대, 당신은 오류가 있다고 믿습니다! 이제 오류가 어떻게 발생했는지, 왜 이것이 잘못된 엔지니어링인지에 대해 이야기 해 봅시다.
대부분의 설명은 임피던스가 다음과 같은 1 차 저역 통과 필터로 시작됩니다.
그리고 다음과 같은 간단한 전달 함수를 얻습니다.
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
그런 다음 2 차 필터 를 만들기 위해이 중 2 개를 함께 넣으면 다음과 같은 결과 를 얻을 수 있습니다.
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
여기서 H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
계산하면 fc = 1 / (2π√R1C1R2C2) 방정식이됩니다. 여기에 오류가 있습니다. H 1 (s) 의 응답은 회로 의 H 2 (s)와 무관합니다. H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1) 이라고 말할 수 없습니다..
H의 임피던스 (2) (S)는 H의 반응에 영향을 1 (들). 따라서 왜이 회로의 작동은 OPAMP는 H 분리 때문에 2 H에서 (S) (1) (S)!
이제 다음 회로를 분석 할 것입니다. 원래 회로를 고려하십시오.
간단하게하기 위해 R1 = R2, C1 = C2로 만들 것입니다. 그렇지 않으면 수학이 실제로 관련됩니다. 그러나 우리는 실제 전달 함수를 도출 할 수 있어야하며 완료되면 검증을 위해 시뮬레이션과 비교할 수 있어야합니다.
(R + 1 / sC)와 병렬로 Z 1 = 1 / sC 라고 말하면 다음 과 같이 회로를 다시 그릴 수 있습니다.
우리는 V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); 여기서 Z 1 은 복잡한 임피던스 일 수 있습니다. 원래 회로로 돌아 가면 (R + 1 / sC)와 병렬로 Z 1 = 1 / sC를 볼 수 있습니다.
또한 Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), 즉 H 2 (s) 임을 알 수 있습니다. 그러나 H 1 (s)는 훨씬 더 복잡합니다. Z 1 / (R + Z 1) 여기서 Z 1 = 1 / sC-(R + 1 / sC); 1 / (sRC + 1)이 아닙니다!
이제 우리 회로에 대한 수학을 연마 해 보겠습니다. R1 = R2 및 C1 = C2의 특수한 경우.
우리는:
V 1 / V 에서 Z = 1 / (R + Z 1) Z 1 (R + 1 / SC) = SRC (+ 1) / ((SC) - = 1 / SC 2 R + 2SC) Vo에 / V 1 = 1 / (sRC + 1)
그리고 마지막으로
VO / V 에서 = * = * = * = * = *
여기에서 확인할 수 있습니다.
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
아님 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
과..
VO / V 에서 = H 1 (S) * H 2 (들) = * = 1 / ((SRC) 2 + 3sRC + 1)
우리는 -6db 포인트가 (
그리고 우리는 전달 함수의 크기가 0.5 일 때 -6db 주파수에 있다는 것을 압니다.
그래서 그것을 해결합시다.
-Vo / V 에서 = -1 / ((SRC) - 2 + 3sRC + 1) - = 0.5
s = jꙍ, 우리는:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)-= 0.5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1)-= 0.5-((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1)-= 2-(-(ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1)-= 2-((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
크기를 찾으려면 실수 및 가상 항의 제곱의 제곱근을 구하십시오.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
양쪽 제곱:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
확장:
1-2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2-3 = 0
x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x-3 = 0
2 차 방정식을 사용하여 x를 풀기
x = (-7 +/- sqrt (49 – 4 * 1 * (-3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. 진짜 답은 +
생각해 내다
x = (ꙍRC) 2
x 대체
(ꙍRC) 2 = (
ꙍ를 2로 교체
2
f c = (
못생긴, 당신은 나를 믿지 않을 수도 있으므로 계속 읽어보십시오… 내가 당신에게 준 원래 회로에 대해:
f c = (
이 회로에 대한 원래 시뮬레이션으로 돌아 가면 계산과 정확히 일치하는 ~ 6.331kHz에서 -6db 주파수를 보았습니다!
다른 값에 대해 이것을 시뮬레이션하면 방정식이 올바른지 확인할 수 있습니다.
2 개의 1 차 저역 통과 필터 사이에서 버퍼링 할 때 방정식을 사용할 수 있음을 알 수 있습니다.
f c = 1 / (
R1 = R2이고 C1 = C2이면 다음 방정식을 사용할 수 있습니다.
f c = 1 /
그러나 두 1 차 필터 사이에 버퍼링을하지 않으면 방정식 (R1 = R2, C1 = C2)은 다음과 같습니다.
f c = (
f c ~ 0.6365 / 2
경고, 다음과 같이 말하지 마십시오.
f c = 0.6365 / (
기억하십시오, H 2 (s)는 H 1 (s)에 영향을 미칩니다. 그러나 그 반대는 아닙니다. 필터는 대칭이 아니므로이 가정을하지 마십시오!
따라서 현재 방정식을 유지하려면 다음과 같은 회로를 권장합니다.
